Question

如圖，已知二次函數圖象的頂點坐標為C（1，1），直線y=kx+m的圖象與該二次函數的圖象交于A、B兩點，其中A點坐標為（

5

2

，

13

4

），B點在y軸上，直線與x軸的交點為F，P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數的圖象交于E點．
（1）求k，m的值及這個二次函數的解析式；
（2）設線段PE的長為h，點P的橫坐標為x，求h與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）D為直線AB與這個二次函數圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在點P，使得以點P、E、D為頂點的三角形與△BOF相似？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知頂點C（1，1），設拋物線頂點式y=a（x-1）²+1，將A(

5

2

，

13

4

)代入可求拋物線解析式，從而可得B點坐標，已知A，B兩點坐標，直線y=kx+m的圖象經過A、B兩點，代入可求k，m的值；
（2）點P在直線y=

1

2

x+2故P（x，

1

2

x+2），點E在拋物線y=x²-2x+2上，故E（x，x²-2x+2），∴h=PE=h=

1

2

x+2-（x-1）²-1．又P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），∴0＜x＜

5

2

；
（3）在P點運動過程中，∠DPE只可能是銳角或鈍角，故直角頂點只有兩種對應關系，即O對D，O對E，分兩種情況，寫成相似比，即△PDE∽△BOF，△PED∽△BOF，分別求解．

解答：解：（1）設拋物線解析式為y=a（x-1）²+1
∵A(

5

2

，

13

4

)在拋物線上
∴

13

4

=a（

5

2

-1）²+1
∴a=1
∴二次函數解析式為y=（x-1）²+1（或y=x²-2x+2）
令x=0得：y=2
即B（0，2）在y=kx+m上
∴m=2
把(

5

2

，

13

4

)代入y=kx+2，
得k=

1

2

；

（2）h=

1

2

x+2-（x-1）²-1
=-x²+

5

2

x（0＜x＜

5

2

）；

（3）假設存在點P，①當∠PED=∠BOF=90°時，由題意可得△PED∽△BOF
則

-x2+ 5 2 x

2

=

x-1

4

∴x=

2± 6

2

，
∵0＜x＜

5

2

，
∴x=

2- 6

2

（舍去）
而x=

2+ 6

2

＜

5

2

∴存在點P，其坐標為(

2+ 6

2

，

10+ 6

4

)
②當∠PDE=∠BOF=90°時，
過點E作EK垂直于拋物線的對稱軸，垂足為K．
由題意可得：△PDE∽△EKD，△PDE∽△BOF
∴△EKD∽△BOF
則

5 2 -(x2-2x+2)

4

=

x-1

2

∴x=±

10

2

．
∵0＜x＜

5

2

，x=-

10

2

舍去
而x=

10

2

＜

5

2

，
∴存在點P，其坐標為(

10

2

，

8+ 10

4

)
綜上所述存在點P滿足條件，其坐標為
(

2+ 6

2

，

10+ 6

4

)，(

10

2

，

8+ 10

4

)．

點評：本題考查了一次函數、二次函數解析式的求法，用坐標表示線段的長，及相似條件的探求，具有較強的綜合性．