Question

（2012•衡水一模）如圖，已知二次函數y=-

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2

x2+bx+c的圖象經過A（2，0）、B（0，-6）兩點．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）設該二次函數圖象的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積；
（3）若拋物線的頂點為D，在y軸上是否存在一點P，使得△PAD的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點A及點B的坐標代入即可得出b、c的值，繼而可得出二次函數解析式；
（2）根據（1）求得的解析式，可得出對稱軸，也可得出AC的長度，根據S_△ABC=

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2

AC×BO可得出答案．
（3）AD長度固定，故只需找到點P使AP+PD最小即可，找到點A關于y軸的對稱點A'，連接A'D，則A'D與y軸的交點即是點P的位置，求出直線A'D的函數解析式，可得出點P的坐標．

解答：解：（1）將點A（2，0）、B（0，-6）代入得：

-2+2b+c=0 c=-6

，
解得：

b=4 c=-6

，
故這個二次函數的解析式為：y=-

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x²+4x-6．
（2）∵二次函數的解析式為：y=-

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x²+4x-6，
∴二次函數的對稱軸為x=4，即OC=4，
∴AC=2，
故S_△ABC=

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2

AC×BO=6．
（3）存在，點P的坐標為（0，

2

3

）．

AD長度固定，只需找到點P使AP+PD最小即可，找到點A關于y軸的對稱點A'，連接A'D，則A'D與y軸的交點即是點P的位置，
∵點A'與點A關于y軸對稱，
∴點A'的坐標為（-2，0），
又∵頂點D的坐標為（4，2），
∴直線A'D的解析式為：y=

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x+

2

3

，
令x=0，則y=

2

3

，即點P的坐標為（0，

2

3

）．

點評：此題考查了二次函數綜合題，涉及了待定系數法求函數解析式、三角形的面積，要注意掌握點的坐標與線段長度之間的轉換，難點在第三問，注意運用軸對稱的性質求最短路線．