Question

如圖，已知二次函數y=ax²-4x+c的圖象與坐標軸交于點A（-1，0）和點C（0，-5）．
（1）求該二次函數的解析式和它與x軸的另一個交點B的坐標．
（2）在上面所求二次函數的對稱軸上存在一點P（2，-2），連接OP，找出x軸上所有點M的坐標，使得△OPM是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）把A（-1，0）和點C（0，-5）代入y=ax²-4x+c，得到一個二元一次方程組，求出方程組的解，即可得到該二次函數的解析式，當y=0時，x²-4x-5=0，求出方程的解即可得出它與x軸的另一個交點B的坐標；
（2）根據等腰三角形的判定分OP=PM，OP=OM，PM=OM三種情況即可求出x軸上所有點M的坐標．

解答：解：（1）根據題意，
得

0=a×(-1)2-4×(-1)+c -5=a×02-4×0+c.

，
解得

a=1 c=-5.

，
∴二次函數的表達式為y=x²-4x-5，
當y=0時，x²-4x-5=0，
解得：x₁=5，x₂=-1，
∵點A的坐標是（-1，0），
∴B（5，0），
答：該二次函數的解析式是y=x²-4x-5，和它與x軸的另一個交點B的坐標是（5，0）．

（2）令y=0，得二次函數y=x²-4x-5的圖象與x軸
的另一個交點坐標B（5，0），
由于P（2，-2），符合條件的坐標有共有4個，
分別是M₁（4，0）M₂（2，0）M₃（-2

2

，0）M₄（2

2

，0），
答：x軸上所有點M的坐標是（4，0）、（2，0）、（-2

2

，0）、（2

2

，0），使得△OPM是等腰三角形．

點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，解二元一次方程組，解一元二次方程，等腰三角形的判定等知識點的理解和掌握，