Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y= x2經過點A（x1 ， y1）、C（x2 ， y2），其中x1、x2是方程x2﹣2x﹣8的兩根，且x1＜x2 ， 過點A的直線l與拋物線只有一個公共點

（1）求A、C兩點的坐標；
（2）求直線l的解析式；
（3）如圖2，點B是線段AC上的動點，若過點B作y軸的平行線BE與直線l相交于點E，與拋物線相交于點D，過點E作DC的平行線EF與直線AC相交于點F，求BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵x1、x2是方程x2﹣2x﹣8的兩根，且x1＜x2，

∴x1=﹣2，x2=4，

∴A（﹣2，2），C（4，8）；

（2）

解：設直線l的解析式為y=kx+b，

∵A（﹣2，2）在直線l上，

∴2=﹣2k+b，

∴b=2k+2，

∴直線l的解析式為y=kx+2k+2①，

∵拋物線y= x2②，

聯立①②化簡得，x2﹣2kx﹣4k﹣4=0，

∵直線l與拋物線只有一個公共點，

∴△=（2k）2﹣4（﹣4k﹣4）=4k2+16k+16=4（k2+4k+4）=4（k+2）2=0，

∴k=﹣2，

∴b=2k+2=﹣2，

∴直線l的解析式為y=﹣2x﹣2；

（3）

解：由（1）知，A（﹣2，2），C（4，8），

∴直線AC的解析式為y=x+4，

設點B（m，m+4），

∵（4.8），

∴BC= |m﹣4|= （4﹣m）

∵過點B作y軸的平行線BE與直線l相交于點E，與拋物線相交于點D，

∴D（m， m2），E（m，﹣2m﹣2），

∴BD=m+4﹣ m2，BE=m+4﹣（﹣2m﹣2）=3m+6，

∵DC∥EF，

∴△BDC∽△BEF，

∴ ，

∴ ，

∴BF=6 ．

【解析】（1）解一元二次方程即可得出點A，C坐標；（2）先設出直線l的解析式，再聯立拋物線解析式，用△=0，求出k的值，即可得出直線l的解析式；（3）設出點B的坐標，進而求出BC，再表示出點D，E的坐標，進而得出BD，BE，再判斷出△BDC∽△BEF得出比例式建立方程即可求出BF．