Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，角ACB＝90°，P是線段BC上一動點（與點B，C不重合）連接AP，延長BC至點Q，使 CQ＝CP，過點Q作QH⊥AP于點H，交AB于點M．

(1)∠APC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；

(2)在（1）的條件下，過點M作ME⊥QB于點E，試證明 PC 與 ME 之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）∠AMQ＝45°+α；（2）PC＝ME；

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性質得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，由直角三角形的性質即可得出結論；

（2）由AAS證明△APC≌△QME，得出PC=ME，

（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：

∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，

∵QH⊥AP，

∴∠AHM=90°，

∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α；

（2）結論：PC=ME．

理由：連接AQ，作ME⊥QB，如圖所示：

∵AC⊥QP，CQ=CP，

∴∠QAC=∠PAC=α，

∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，

∴AP=AQ=QM，

在△APC和△QME中，

，

∴△APC≌△QME（AAS），

∴PC=ME，