Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax²+bx+c經過點A、B，最低點為M，且S_△AMB＝.

（1）求此拋物線的解析式，并說明這條拋物線是由拋物線y=ax²怎樣平移得到的；
（2）如果點P由點A開始沿著射線AB以2cm/s的速度移動，同時點Q由點B開始沿BC邊以1cm/s的速度向點C移動，當其中一點到達終點時運動結束；
①在運動過程中，P、Q兩點間的距離是否存在最小值，如果存在，請求出它的最小值；
②當PQ取得最小值時，在拋物線上是否存在點R，使得以P、B、Q、R為頂點的四邊形是梯形? 如果存在，求出R點的坐標，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）拋物線的解析式為是由拋物線向右1個單位長度，向下個單位長度得到的；（2）①；②R（，-）

試題分析：（1）由題意可得拋物線的對稱軸為，再根據△AMB的面積即可求得拋物線頂點的縱坐標，再設出頂點式，最后把A點的只能代入即可得到結果；
（2）①先求出關于時間t的函數關系式，根據二次函數的性質即可求得結果；②分AB∥QR與BR∥PQ兩種情況，根據梯形的性質分析即可.
（1）由題意得拋物線的對稱軸為
，
則拋物線頂點的縱坐標為
∴設拋物線解析式為
∵圖象過點A（0，-2）
∴，
∴拋物線的解析式為
這條拋物線是由拋物線向右1個單位長度，向下個單位長度得到的；
（2）①PQ²=（2-2t）²+t²=5(t-)²+
存在，當t=時，最小值；
②1⁰當AB∥QR時
y=-時，(x-1)²-=-
x₁=或x₂=
當x₁=時，說明P、B、Q、R為頂點的四邊形是梯形
當x₂=時，PBRQ為平行四邊形，舍
2⁰當BR∥PQ時，與x₂=的情況相同，故此時不存在梯形
∴R（，-）.
點評：本題知識點較多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，需要學生熟練掌握二次函數的性質的應用.