Question

【題目】如圖，點A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函數 的圖象上．

（1）求m，k的值；
（2）求直線AB的函數表達式；
（3）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出點M，N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函數y= 的圖象上，

∴k=xy，

∴k=m（m+1）=（m+3）（m﹣1），

∴m2+m=m2+2m﹣3，

解得m=3，

∴k=3×4=12；

（2）

解：∵m=3，

∴A（3，4），B（6，2），

設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），

則 ，解得 ，

∴直線AB的解析式為：y=﹣ x+6；

（3）

解：作AM⊥x軸于M，過B作BN⊥y軸于N，兩線交于P，

∵由（1）知：A（3，4），B（6，2），

∴AP=PM=2，BP=PN=3，

∵四邊形ANMB是平行四邊形．

當M（﹣3，0）、N（0，﹣2）時，根據勾股定理能求出AM=BN，AB=MN，

即四邊形AMNB是平行四邊形，

∴此時M（3，0）、N（0，2）或M（﹣3，0）、N（0，﹣2）．

【解析】（1）根據反比例函數解析式求得k=xy；然后利用反比例函數圖象上點的坐標特征列出關于m的方程k=m（m+1）=（m+3）（m﹣1），從而求得k、m的值；（2）利用待定系數法求出直線AB的解析式即可；（3）這樣的平行四邊形有2個：點M分別位于x軸的正負半軸上、點N分別位于y軸的正負半軸上．
【考點精析】掌握確定一次函數的表達式和平行四邊形的性質是解答本題的根本，需要知道確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．