Question

【題目】如圖，△ABC、△DCE、△FEG為等邊三角形，邊長分別為2、3、5，且從左至右如圖排列，連接BF，交DC、DE分別于M、N兩點，則△DMN的面積為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵△FEG為等邊三角形，∴∠FEG=60°． ∵BC=2，CE=3，EF=5，∴BE=5=EF，
∴∠EBF=∠EFB= ∠FEG=30°．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠D=∠DCE=∠DEC=60°，
∴∠DNM=∠EBF+∠DEC=90°．
∵∠DCE=∠FEG=60°，
∴CM∥EF，
∴△BCM∽△BEF，
∴ = ，即 = ，
解得CM=2，
∴DM=DC﹣CM=3﹣2=1，
∴在Rt△DNM中，
MN=DMsin60°= ，
DN=DMcos60°= ，
∴S△DNM= DNMN= ．
故答案為 ．

易證BE=EF=5，從而可得∠EBF= ∠FEG=30°，根據三角形外角的性質可得到∠DNM=90°；易證△BCM∽△BEF，根據相似三角形的性質可求出CM，從而得到DM的值，然后在Rt△DNM中，運用三角函數可求出MN、DN，就可求出△DMN的面積．