Question

【題目】已知：如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心，OA長為半徑作⊙O，過點B作BK⊥AC，垂足為K，過D作DH∥KB，DH分別與AC，AB，⊙O及CB的延長線相交于點E，F，G，H，且F是EG的中點．
（1）求證：點D在⊙O上；
（2）求證：F是AB的中點；
（3）若DE=4，求⊙O的半徑和△BFH的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AO=OC=OD=OB，

∵以O為圓心，OA長為半徑作⊙O，

∴點D在⊙O上；

（2）證明：同理，點B也是⊙O上，

連接BG，

∵∠BAD=90°，

∴BD也是直徑，

∴∠BGD=90°，

∵BK⊥AC，BK∥DH，

∴∠GEK=90°，

∴BG∥AC，

∴∠FAE=∠FBG，

∵F是EG的中點，

∴EF=FG，

∵∠AFE=∠BFG，

∴△AEF≌△BGF，

∴AF=BF，

∴F是AB的中點；

（3）證明：由（2）得：△AEF≌△BGF，

∴AE=BG，

∵OE⊥DG，

∴DE=EG=4，

∵OB=OD，

∴OE是△DGB的中位線，

∴OE= BG，

∴OE= AE，

設OE=x，則AE=2x，

∴OD=3x，

在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+ED2=OD2，

∴x2+42=（3x）2，

x= ，

∴OD=3 ，即⊙O的半徑為3 ；

Rt△AED中，AE=2 ，ED=4，

∴AD= =2 ，

Rt△ABD中，BD=2OD=6 ，

AB= =4 ，

∵AF=BF，∠AFD=∠BFH，∠DAF=∠ABH=90°，

∴△AFD≌△BFH，

∴BH=AD=2 ，

BF=AF= AB=2 ，

∴S△BFH= BFBH= × =6 ．

【解析】（1）根據矩形的對角線相等且平分的性質得：OA=OD，所以點D在⊙O上；（2）證明△AEF≌△BGF，則AF=BF；（3）先在Rt△OED中，由勾股定理求⊙O的半徑為3 ；再利用勾股定理計算AD= =2 ， AB= =4 ，證明△AFD≌△BFH，可得S△BFH= BFBH，代入計算即可．