Question

【題目】設拋物線的解析式為y=ax2 ， 過點B1（1，0）作x軸的垂線，交拋物線于點A1（1，2）；過點B2（ ，0）作x軸的垂線，交拋物線于點A2；…；過點Bn（（ ）n﹣1 ， 0）（n為正整數）作x軸的垂線，交拋物線于點An ， 連接AnBn+1 ， 得Rt△AnBnBn+1 ．
（1）求a的值；
（2）直接寫出線段AnBn ， BnBn+1的長（用含n的式子表示）；
（3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列問題：
①當n為何值時，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？
②設1≤k＜m≤n（k，m均為正整數），問：是否存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A1（1，2）在拋物線的解析式為y=ax2上，

∴a=2；

（2）

解：AnBn=2x2=2×[（ ）n﹣1]2=（ ）2n-3，

BnBn+1=（ ）n；

（3）

解：由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，則：（ ）2n-3=（ ）n，

2n﹣3=n，n=3，

∴當n=3時，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形，

②依題意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°，

有兩種情況：i）當Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1時，

= ， = ， = ，

所以，k=m（舍去），

ii）當Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm時，

= ， = ， = ，

∴k+m=6，

∵1≤k＜m≤n（k，m均為正整數），

∴取 或 ；

當 時，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5，

相似比為： = =64，

當 時，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，

相似比為： = =8，

所以：存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似，其相似比為64：1或8：1．

【解析】本題考查了二次函數的綜合問題，這是一個函數類的規律題，把坐標、二次函數和線段有機地結合在一起，以求線段的長為突破口，以相似三角形的對應邊的比為等量關系，代入計算解決問題，綜合性較強，因為本題小字標較多，容易出錯．（1）直接把點A1的坐標代入y=ax2求出a的值；（2）由題意可知：A1B1是點A1的縱坐標：則A1B1=2×12=2；A2B2是點A2的縱坐標：則A2B2=2×（ ）2= ；…則AnBn=2x2=2×[（ ）n﹣1]2=（ ）2n-3；
B1B2=1﹣ = ，B2B3= ﹣（ ）2 = =（ ）2 ， …，BnBn+1=（ ）n；（3）因為Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1是直角三角形，所以分兩種情況討論：根據（2）的結論代入所得的對應邊的比列式，計算求出k與m的關系，并與1≤k＜m≤n（k，m均為正整數）相結合，得出兩種符合條件的值，分別代入兩相似直角三角形計算相似比．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和相似三角形的判定的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）才能正確解答此題．