Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P′），當AP旋轉至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．

（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）求證：AE=CP；
（3）當，BP′=時，求線段AB的長．

Answer 1

解：（1）證明：∵AP′是AP旋轉得到，∴AP=AP′。∴∠APP′=∠AP′P。
∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°。
又∵∠BPC=∠APP′（對頂角相等）。∴∠CBP=∠ABP。
（2）證明：如圖，過點P作PD⊥AB于D，

∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP。
∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°。
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E。
在△APD和△P′AE中，
∵，
∴△APD≌△P′AE（AAS）。∴AE=DP。∴AE=CP。
（3）∵，∴設CP=3k，PE=2k，則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k。
在Rt△AEP′中，，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°。
∵∠BPC=∠EPP′（對頂角相等），∴∠CBP=∠P′PE。
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′。
∴。即。∴。
在Rt△ABP′中，，即。
解得AB=10

試題分析：（1）根據旋轉的性質可得AP=AP′，根據等邊對等角的性質可得∠APP′=∠AP′P，再根據等角的余角相等證明即可。
（2）過點P作PD⊥AB于D，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=DP，從而得證。
（3）設CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可。