Question

如圖，已知AB⊥BD，CD⊥BD

（1）若AB=9，CD=4，BD=10，請問在BD上是否存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，請問m，n，l滿足什么關系時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點？兩個P點？三個P點？

Answer 1

解：（1）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似。
理由是：設BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。
∴當或時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似。
①若，則，解得：x=。
②若，則，即x²﹣10x+36=0，△=（﹣10）²﹣4×1×36＜0，此方程無解。
∴存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為。
（2）在BD上存在2個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，
理由是：設BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。
∴當或時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似。
①若，則，解得：x=。
②若，則，即x²﹣12x+36=0，解得：x₁=x₂=6。
∴存在2個點P，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為或6。
（3）在BD上存在3個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似。
理由是：設BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。
∴當或時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似。
①若，則，解得：x=。
②若，則，即x²﹣15x+36=0，解得：x₁=3，x₂=12。
∴存在3個點P ，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，此時BP的值為或3或12。
（4）設BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠B=∠D=90°。
∴當或時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似。
①若，則，解得：x=。
②若，則，即x²﹣lx+mn=0。
∵△=（﹣l）²﹣4×1×mn=l²﹣4mn，
∴當l²﹣4mn＜0時，方程沒有實數根；當l²﹣4mn=0時，方程有2個相等的實數根；當l²﹣4mn＞0時，方程有2個不相等的實數根。
∴當l²﹣4mn＜0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點；
當l²﹣4mn=0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的兩個P點；
當l²﹣4mn＞0時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的三個P點。

（1）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可。
（2）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可。
（3）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出或時，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入求出即可。
（4）存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，設BP=x，根據∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出當或時使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似，代入后根據根的判別式進行判斷即可。