Question

【題目】如圖，⊙P的半徑為5，A、B是圓上任意兩點，且AB=6，以AB為邊作正方形ABCD（點D、P在直線AB兩側）．若AB邊繞點P旋轉一周，則CD邊掃過的面積為 ．

Answer 1

【答案】9π
【解析】解：連接PA、PD，過點P作PE垂直AB于點E，延長PE交CD于點F，如圖所示．

∵AB是⊙P上一弦，且PE⊥AB，
∴AE=BE= AB=3．
在Rt△AEP中，AE=3，PA=5，∠AEP=90°，
∴PE= =4．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥CD，AB=BC=6，
又∵PE⊥AB，
∴PF⊥CD，
∴EF=BC=6，DF=AE=3，PF=PE+EF=4+6=10．
在Rt△PFD中，PF=10，DF=3，∠PFE=90°，
∴PD= ．
∵若AB邊繞點P旋轉一周，則CD邊掃過的圖形為以PF為內圓半徑、以PD為外圓半徑的圓環．
∴S=πPD2﹣πPF2=109π﹣100π=9π．
故答案為：9π．
連接PA、PD，過點P作PE垂直AB于點E，延長AE交CD于點F，根據垂徑定理可得出AE=BE= AB，利用勾股定理即可求出PE的長度，再根據平行線的性質結合正方形的性質即可得出EF=BC=AB，DF=AE，再通過勾股定理即可求出線段PD的長度，根據邊與邊的關系可找出PF的長度，分析AB旋轉的過程可知CD邊掃過的區域為以PF為內圓半徑、以PD為外圓半徑的圓環，根據圓環的面積公式即可得出結論．本題考查了垂徑定理、勾股定理、平行線的性質以及圓環的面積公式，解題的關鍵是分析出CD邊掃過的區域的形狀．本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解決該題型題目時，結合AB邊的旋轉，找出CD邊旋轉過程中掃過區域的形狀是關鍵．