Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，直線MN經過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且∠BAC=∠CAD．

（1）求證：直線MN是⊙O的切線；

（2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

試題分析：（1）連接OC，易證∠OCA=∠OAC=∠CAD，從而OC∥AD，推出OC⊥MN，可得出直線MN是⊙O的切線；（2）由條件在Rt△ADC中，可求得AD、AC的長，易證△ADC∽△ACB，利用對應邊成比例求出AB的長，半徑即可求出.

試題解析： （1）證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∴∠ACO=∠CAD．∽OC∥AD，又∵AD丄MN，∴OC丄MN，∴直線MN是⊙O的切線；（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.∵AD丄MN，∴∠ADC=90°．∵CD=3，∠CAD=30°，∴AD=6，.∵∠BAC=∠CAD，∠ACB=∠ADC，∴△ABC∽△ACD，∴=，

∴,AB=4，∴⊙O的半徑為2．