【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交BE于點F，點D，E的坐標分別為（3，0），（0，1）.
（1）求拋物線的解析式；
（2）猜想△EDB的形狀并加以證明.
【答案】（1）y=—
x2+3x；（2）△EDB為等腰直角三角形，見解析.
【解析】
（1）由條件可求得拋物線的頂點坐標及A點坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）由B、D、E的坐標可分別求得DE、BD和BE的長，再利用勾股定理的逆定理可進行判斷；
（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，
∴A（4，0），C（0，3），
∵拋物線經過O、A兩點，頂點在BC邊上，
∴拋物線頂點坐標為（2，3），
∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+3，
把A點坐標代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=－，
∴拋物線解析式為y=—（x﹣2）2+3，即y=—x2+3x；
（2）△EDB為等腰直角三角形．
證明：
由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），
∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，
∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，
∴△EDB為等腰直角三角形.
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【題目】已知，如圖，線段AD=10cm，點B，C都是線段AD上的點，且AC=7cm，BD=4cm，若E，F分別是線段AB，CD的中點，求BC與EF的長度．
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【題目】如圖，已知△ABC．
（1）若AB=4，AC=5，則BC邊的取值范圍是 ；
（2）點D為BC延長線上一點，過點D作DE∥AC，交BA的延長線于點E，若∠E=55°，∠ACD=125°，求∠B的度數．
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【題目】某游泳池長25米，小林和小明兩個人分別在游泳池的A，B兩邊，同時朝著另一邊游泳，他們游泳的時間為（秒），其中0≤t≤180，到A邊距離為y（米），圖中的實線和虛線分別表示小林和小明在游泳過程中y與t的對應關系．下面有四個推斷：
①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度；
②小明游泳的距離大于小林游泳的距離；
③小明游75米時小林游了90米游泳；
④小明與小林共相遇5次；
其中正確的是（ �。�
A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④
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【題目】已知二次函數
的圖象
經過
， 
兩點.
（1）求
對應的函數表達式；
（2）將
先向左平移1個單位，再向上平移4個單位，得到拋物線
，將
對應的函數表達式記為
，求
對應的函數表達式；
（3）設
，在（2）的條件下，如果在
≤x≤a內存在某一個x的值，使得
≤
成立，根據函數圖象直接寫出a的取值范圍.
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【題目】從北京市環保局證實，為滿足2022年冬奧會對環境質量的要求，北京延慶正在對其周邊的環境污染進行綜合治理，率先在部分村鎮進行“煤改電”改造．在治理的過程中，環保部門隨機選取了永寧鎮和千家店鎮進行空氣質量監測．過程如下，請補充完整．
收集數據：
從2016年12月初開始，連續一年對兩鎮的空氣質量進行監測（將30天的空氣污染指數（簡稱：API）的平均值作為每個月的空氣污染指數，12個月的空氣污染指數如下：
千家店鎮：120 115 100 100 95 85 80 70 50 50 50 45
永寧 鎮：110 90 105 80 90 85 90 60 90 45 70 60
整理、描述數據：
空氣質量
按如表整理、描述這兩鎮空氣污染指數的數據：
空氣質量為優 | 空氣質量為良 | 空氣質量為輕微污染 | |
千家店鎮 | 4 | 6 | 2 |
永寧 鎮 |
|
|
|
（說明：空氣污染指數≤50時，空氣質量為優；50＜空氣污染指數≤100時，空氣質量為良；100＜空氣污染指數≤150時，空氣質量為輕微污染．）
分析數據：
兩鎮的空氣污染指數的平均數、中位數、眾數如下表所示；
城鎮 | 平均數 | 中位數 | 眾數 |
千家店 | 80 |
| 50 |
永 寧 | 81.3 | 87.5 |
|
請將以上兩個表格補充完整；
得出結論：可以推斷出 鎮這一年中環境狀況比較好，理由為 ．（至少從兩個不同的角度說明推斷的合理性）
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【題目】有兩根木條,一根AB長為100cm,另一根CD長為150cm,在它們的中點處各有一個小圓孔MN(圓孔直徑忽略不計,MN抽象成兩個點),將它們的一端重合,放置在同一條直線上,此時兩根木條的小圓孔之間的距離MN是____________cm.
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【題目】平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1）與B（x2，y2），如果滿足x1+x2=0，y1﹣y2=0，其中x1≠x2，則稱點A與點B互為反等點．已知：點C（3，4）
（1）下列各點中， 與點C互為反等點；
D（﹣3，﹣4），E（3，4），F（﹣3，4）
（2）已知點G（﹣5，4），連接線段CG，若在線段CG上存在兩點P，Q互為反等點，求點P的橫坐標xP的取值范圍；
（3）已知⊙O的半徑為r，若⊙O與（2）中線段CG的兩個交點互為反等點，求r的取值范圍．
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【題目】古埃及人曾經用如圖所示的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結間距、4個結間距、5個結間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角，這樣做的道理是（ ）
A. 直角三角形兩個銳角互補
B. 三角形內角和等于180°
C. 如果三角形兩條邊長的平方和等于第三邊長的平方
D. 如果三角形兩條邊長的平方和等于第三邊長的平方，那么這個三角形是直角三角形
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