Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作圓O，分別交BC于點D，交CA的延長線于點E，過點D作DH⊥AC于點H，連接DE交線段OA于點F．

(1)求證：DH是圓O的切線；

(2)若，求證：A為EH的中點．

(3)若EA=EF=1，求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】分析：（1）由角的關系易證OD//AC，已知即證

（2）由OD//AC，可證根據“相似三角形的對應邊成比例”易得, 設 證明 是等腰三角形，表示出即可證明.

（3）通過等量關系表示出邊的長度，由可得對應邊的比例關系的方程，求解即可.

詳解：(1)連接OD，如圖1，

∵在⊙O中，

∴

∵

∴

∴

∴OD//AC，

∵

∴

∴

∴

∴DH是圓O的切線；

(2)∵

∴

∴，

設

連接AD，

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，即

∵

∴D是BC的中點，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∴

∵在⊙O中，

∴

∴是等腰三角形，

∵

∴

∵A在EH上且,

∴A為EH的中點.

(3)如圖2，設⊙O的半徑為r，即

∵

∴

∵OD∥EC，

∴

則

∴

∴

∴

在⊙O中，∵

∴

∴，是等腰三角形，

∴

∴

∵

∴

解得： (不合題意，舍去)，

綜上所述，⊙O的半徑為．