Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A(－4，0)、B(2，0)，點C在y軸的正半軸上，且三角形ABC的面積為．

（1）求點C的坐標．

（2）過O點作OD平行于AC交CB于點D，問：x軸上是否存在一點P，使S△PBD＝？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）若∠ACO＝30°，射線CA繞C點以每秒3°的速度逆時針旋轉到CA′，射線OB繞O點以每秒10°的速度逆時針旋轉到OB′．當OB轉動一周時兩者都停止運動．若兩射線同時開始運動，在旋轉過程中，經過多長時間，CA′∥OB′？

Answer 1

【答案】（1）C（0，）（2）（-7,0）或（11,0）（3）s或s

【解析】

（1）根據三角形的面積公式即可求解；

（2）先得到直線AC與BC的解析式，再根據平行得到OD解析式，再聯立解得D點坐標，再根據S△PBD＝即可求出P點坐標，

（3）設旋轉的時間為t，根據平行線的性質及角度的旋轉即可得到一元一次方程，即可求解.

（1）∵A(－4，0)、B(2，0)

∴AB=6,

∵S△ABC=AB×OC=

∴OC=

∴C（0，）

（2）∵A(－4，0)、C（0，）

設直線AC解析式為y=kx+b（k≠0）

代入得解得

∴直線AC解析式為y=x+4，

∵AC∥OD，∴OD解析式為y=x

又B（2,0），可求得直線BC的解析式為y=-2x+4

聯立y=x與y=-2x+4

解得x=,y=

過D點作DF⊥x軸，∴DF=

∵S△PBD＝

∴BP×DF=，即BP×=，

BP=9，又B（2,0）

∴P點坐標為（-7,0）或（11,0）

（3）設旋轉的時間為t，

∵每秒10°的速度逆時針旋轉到OB′．當OB轉動一周時兩者都停止運動

∴10t≤360，則t≤36

依題意可得3x-30°=10x-90°或30-2x=90°-10x-180°

解得x=，x=

故經過s或s，CA′∥OB′.