Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，AB=10，點D在線段AB上，AD=2．點P，Q以相同的速度從D點同時出發，點P沿DB方向運動，點Q沿DA方向到點A后立刻以原速返回向點B運動．以PQ為直徑構造⊙O，過點P作⊙O的切線交折線AC﹣CB于點E，將線段EP繞點E順時針旋轉60°得到EF，過F作FG⊥EP于G，當P運動到點B時，Q也停止運動，設DP=m．
（1）當2＜m≤8時，AP=，AQ=．（用m的代數式表示）
（2）當線段FG長度達到最大時，求m的值；
（3）在點P，Q整個運動過程中， ①當m為何值時，⊙O與△ABC的一邊相切？
②直接寫出點F所經過的路徑長是．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】
（1）解：當2＜m≤8時，AP=2+m，AQ=m﹣2．

故答案為2+m，m﹣2．

（2）解：如圖1中，

在Rt△EFG中，∵∠EFG=∠A=30°，∠EGF=90°，

∴FG=EFcos30°=PEcos30°= EP，

∴當點E與點C重合時，PE的值最大，

易知此時EP= = = ，

∵EP=APtan30°=（2+m） ，

∴ =（2+m） ，

∴m=5.5

（3）解：①當0＜t≤2（Q在往A運動）時，如圖2中，設⊙O切AC于H，連接OH．

則有AD=2DH=2，

∴DH=DQ=1，即m=1．

當2＜t≤8（Q從A向B運動）時，則PQ=（2+m）﹣（m﹣2）=4，

如圖3中，設⊙O切AC于H．連接OH．

則AO=2OH=4，AP=4+2=6，

∴2+m=6，

∴m=4．

如圖4中，設⊙O切BC于N，連接ON．

在Rt△OBN中，OB= = ，

∴AO=10﹣ ，

∴AP=12﹣ ，

∴2+m=12﹣ ，

∴m=10﹣ ，

綜上所述，當m=1或4或10﹣ 時，⊙O與△ABC的邊相切．

②如圖5中，點F的運動軌跡是F1→F2→B．

易知AF1= ，CF2= ，AC=5 ，

∴F1F2=5 ﹣ ﹣ = ，

∵∠FEP=60°，∠PEB=30°，

∴∠FEB=90°，

∴tan∠EBF= = 為定值，

∴點F的第二段的軌跡是線段BF2，

在Rt△BF2C中，BF2= = = ，

∴點F的運動路徑的長為 + ．

【解析】（1）根據題意可得AP=2+m，AQ=m﹣2．（2）如圖1中，在Rt△EFG中，∠EFG=∠A=30°，∠EGF=90°，推出FG=EFcos30°=PEcos30°= EP，所以當點E與點C重合時，PE的值最大，求出此時EP的長即可解決問題．（3）①分三種情形討論：當0＜t≤2（Q在往A運動）時，如圖2中，設⊙O切AC于H，連接OH．當2＜t≤8（Q從A向B運動）時，則PQ=（2+m）﹣（m﹣2）=4，如圖3中，設⊙O切AC于H．連接OH．如圖4中，設⊙O切BC于N，連接ON．分別求解即可．②如圖5中，點F的運動軌跡是F1→F2→B．分別求出F1F2 ， F2B即可解決問題．