Question

【題目】如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，AB經過圓心O，且與小圓相交于點A，與大圓相交于點B．小圓的切線AC與大圓相交于點D，且CO平分∠ACB．
（1）試判斷BC所在直線與小圓的位置關系，并說明理由；
（2）試判斷線段AC、AD、BC之間的數量關系，并說明理由．
（3）若AB=8，BC=10，求大圓與小圓圍成的圓環的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：BC所在直線與小圓相切．

理由如下：

過圓心O作OE⊥BC，垂足為E；

∵AC是小圓的切線，AB經過圓心O，

∴OA⊥AC；

又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，

∴OE=OA，

∴BC所在直線是小圓的切線

（2）解：AC+AD=BC．

理由如下：

連接OD．

∵AC切小圓O于點A，BC切小圓O于點E，

∴CE=CA；

∵在Rt△OAD與Rt△OEB中，

，

∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），

∴EB=AD；

∵BC=CE+EB，

∴BC=AC+AD

（3）解：∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm，

∴AC=6cm；

∵BC=AC+AD，

∴AD=BC﹣AC=4cm，

∵圓環的面積為：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2），

又∵OD2﹣OA2=AD2，

∴S=42π=16π（cm2）

【解析】（1）只要證明OE垂直BC即可得出BC是小圓的切線，即與小圓的關系是相切．（2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，從而得出EB=AD，從而得到三者的關系是前兩者的和等于第三者．（3）根據大圓的面積減去小圓的面積即可得到圓環的面積．
【考點精析】利用直線與圓的三種位置關系和扇形面積計算公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．