Question

【題目】如圖，半徑為1的小圓與半徑為2的大圓，有一個(gè)公共點(diǎn)與數(shù)軸上的原點(diǎn)重合，兩圓在數(shù)軸上做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，小圓的運(yùn)動(dòng)速度為每秒π個(gè)單位，大圓的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2π個(gè)單位，（1）若小圓不動(dòng)，大圓沿?cái)?shù)軸來(lái)回滾動(dòng)，規(guī)定大圓向右滾動(dòng)的時(shí)間記為正數(shù)，向左滾動(dòng)時(shí)間即為負(fù)數(shù)，依次滾動(dòng)的情況錄如下（單位：秒）：﹣1，+2，﹣4，﹣2，+3，+6

（1）第　 　 次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)；

（2）當(dāng)大圓結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，大圓運(yùn)動(dòng)的路程共有多少？此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離是多少？（結(jié)果保留π）

（3）若兩圓同時(shí)在數(shù)軸上各自沿著某一方向連續(xù)滾動(dòng)，滾動(dòng)一段時(shí)間后兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間相距9π，求此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）總路程為：36π，兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離為：8π；（3）小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為18π，或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-18π，或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為6π，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-6π

【解析】

（1）根據(jù)題意，分別求出每次滾動(dòng)后大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，計(jì)算出每次運(yùn)動(dòng)的路程，然后求和即可求出大圓運(yùn)動(dòng)的總路程，然后求出運(yùn)動(dòng)6次后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即可；

（3）根據(jù)大圓和小圓的運(yùn)動(dòng)方向，分類討論，分別求出對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而求出兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)．

解：（1） 第1次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π|＝2π

第2次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π|＝2π

第3次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π|＝6π

第4次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π|＝10π

第5次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π|＝4π

第6次滾動(dòng)后，大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π

∵10π＞8π＞6π＞4π＞2π＝2π

所以第4次滾動(dòng)后大圓與數(shù)軸的公共點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)．

故答案為4；

（2）總路程為：|﹣1×2π|+|+2×2π|+|﹣4×2π|+|﹣2×2π|+|+3×2π|+|+6×2π|＝36π

此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離為：|﹣1×2π+2×2π﹣4×2π﹣2×2π+3×2π+6×2π|＝8π

答：當(dāng)大圓結(jié)束運(yùn)動(dòng)時(shí)，大圓運(yùn)動(dòng)的路程為36π；此時(shí)兩圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)之間的距離為8π．

（3）當(dāng)它們同向運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：秒，

若同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為9×π=9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為9×2π=18π，

若同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-9×π=-9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-9×2π=-18π，

當(dāng)它們反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：秒，

若小圓向左、大圓向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-3×π=-3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為3×2π=6π，

若小圓向右、大圓向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為3×π=3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-3×2π=-6π

綜上所述：小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為18π，或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-9π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-18π，或小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為6π，小圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為3π，大圓與數(shù)軸重合的點(diǎn)所表示的數(shù)為-6π．