Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F，再分別以點B、F為圓心，大于BF長為半徑畫弧，兩弧交于一點P，連接AP并延長交BC于點E，連接EF．

（1）四邊形ABEF是 ；（選填矩形、菱形、正方形、無法確定）（直接填寫結果）

（2）AE，BF相交于點O，若四邊形ABEF的周長為40，BF=10，則AE的長為 ，∠ABC= °．（直接填寫結果）

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2），120．

【解析】試題分析：（1）先證明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可證明．

（2）根據菱形的性質首先證明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解決問題．

試題解析：（1）在△AEB和△AEF中，∵AB=AF，∠EAB=∠EAF，AE=AE，

∴△AEB≌△AEF，

∴∠EAB=∠EAF，

∵AD∥BC，

∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，

∴BE=AB=AF．

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵AB=AF，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）∵四邊形ABEF是菱形，

∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO，

∵AB=10，

∴AB=2BO，

∵∠AOB=90°

∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，

∴AO=BO=，∠ABC=2∠ABO=120°．