Question

【題目】如圖，在筆直的公路L的同側有A、B兩個村莊，已知A、B兩村分別到公路的距離AC=3km，BD=4km．現要在公路上建一個汽車站P，使該車站到A、B兩村的距離相等，

（1）試用直尺和圓規在圖中作出點P；（保留作圖痕跡）

（2）若連接AP、BP，測得∠APB=90°，求A村到車站的距離．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）A村到車站的距離5km．

【解析】

試題分析：（1）連接AB，作AB的垂直平分線與AB交于點P即可；

（2）先利用AAS證明△ACP≌△PDB，得出CP=BD=4km，然后在Rt△ACP中利用勾股定理求出AP2=AC2+CP2=32+42=25，則AP=5．

解：（1）連結AB，畫出AB的垂直平分線交CD于P，

則點P即為所求的點；

（2）∵∠APB=90°，

∴∠APC+∠BPD=90°，

又∵∠APC+∠CAP=90°，

∴∠CAP=∠BPD，

又∵∠ACP=∠PDB=90°，

∵MN垂直平分AB，

∴AP=BP，

∴△ACP≌△PDB（AAS），

∴CP=BD=4km，

在Rt△ACP中，∠ACP=90°，

AP2=AC2+CP2=32+42=25，

∴AP=5．

答：A村到車站的距離5km．