Question

【題目】臺球桌的形狀是一個長方形，當母球被擊打后可能在不同的邊上反彈，為了母球最終擊中目標球，擊球者需作出不同的設計，確定擊球的方向，因此，臺球既復雜又有趣，臺球運動被稱為智慧和技能的較量．

問題1：如圖（1），如果母球P擊中桌邊點A，經桌邊反彈擊中相鄰另一條桌邊，再次反彈，那么母球P經過的路線BC與PA平行嗎？證明你的判斷．

問題2：在一張簡易球桌ABCD上，如圖（2）所示，目標球F、母球E之間有一個G球阻擋，擊球者想通過擊打母球E先撞球臺的CD邊，過一次反彈后再撞擊F球，他應將E球打到CD邊上的哪一點？

請用尺規(guī)作圖在圖（2）中作出這一點．

問題3：如圖（3），在簡易球臺ABCD上，已知AB=4，BC=3．母球P從角落A以45°角擊出，在桌子邊緣回彈若干次后，最終必將落入 （填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，與桌子邊緣共回彈了 次；若AB=100，BC=99，母球P還終將會落入某個角落的球袋，則它在落入球袋之前，在桌子邊緣總共回彈了 次．

考點：作圖—應用與設計作圖．

Answer 1

【答案】問題1 BC∥PA；問題2見解析；問題3比前一次的位置下移2格，所以要撞擊邊的次數為100+99﹣2=197次．

【解析】

試題分析：（1）類似于光線的反射問題，可通過計算同旁內角互補，得出平行的結論；

（2）入射角等于反射角，找出E點關于AB的對稱點E1，連接E1F交AB于H根據對稱圖形的特點及對頂角相等得出∠BHF=∠E1HA=∠EHA，求出E1N及NF的長運用勾股定理求出E1F的長，因對應邊EH=E1H，E1H即為所求；

（3）根據當AB=4，AD=3時的例圖及彈子的運行規(guī)律：每一條運行軌跡都是一個正方形的對角線，畫出圖形，即可得出結論．

解：（1）如圖，

∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°﹣∠PAD﹣∠BAE，

∴∠PAB=180°﹣2∠BAE．

同理，∠ABC=180°﹣2∠ABE．

∵∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠PAB+∠ABC=360°﹣2（∠BAE+∠ABE）=180°．

∴BC∥PA．

（2）可作點E關于直線AB的對稱點E1，連接E1F，E1F與AB交于點H，球E的運動路線就是EH→HF，

過點F作AB的平行線交E1E的延長線于點N，

；

（3）如圖，

母球P從角落A以45°角擊出，在桌子邊緣回彈若干次后，最終必將落入B（填A、B、C、D）角落的球袋，在它落入球袋之前，與桌子邊緣共回彈了5次；

設由DC邊反彈，彈子撞擊BC邊的位置距離C點為K格，從BC邊反彈后，彈子撞擊AB邊的位置距離B點為（99﹣k）格，距離A點為（k+1）格經過AB邊反彈后，彈子撞擊AD邊的位置距離A點為（k+1）格，距離D點為[99﹣（K+1）]格，經AD反彈，彈子撞擊DC邊的位置距離D點為[99﹣（k+1）]格，距離C點為100﹣[99﹣（K+1）]=K+2格再撞擊BC邊的位置距離C點為k+2格，即比前一次的位置下移2格，所以要撞擊邊的次數為100+99﹣2=197次．