Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，面積是18，腰AB的垂直平分線EF分別交AC、AB邊于E、F點．若點O為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△BOM周長的最小值為_______．

Answer 1

【答案】9

【解析】

連接AO，AM．由于△ABC是等腰三角形，點O是BC邊的中點，故AO⊥BC，再根據三角形的面積公式求出AO的長，再再根據EF是線段AB的垂直平分線可知，點B關于直線EF的對稱點為點A，由OM+BM=OM+AM≥OA，可知AO的長為BM+MO的最小值，由此即可解決問題；

連接AO，AM．

∵△ABC是等腰三角形，點O是BC邊的中點，

∴AO⊥BC，

∴S△ABC=BCAO=×6×AO=18，

解得AO=6，

∵EF是線段AC的垂直平分線，

∴點CB于直線EF的對稱點為點A，

∴BM=MA，

∵OM+BM=OM+AM≥OA，

∴AO的長為BM+MO的最小值，

∴△BOM的周長最小值=（BM+MO）+BO=AO+BC=6+×6=6+3=9．

故答案為：9．