Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，∠ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO．
（1）已知BD= ，求正方形ABCD的邊長；
（2）猜想線段EM與CN的數量關系并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴2AB2=BD2，

∵BD= ，

∴AB=1，

∴正方形ABCD的邊長為1

（2）解：CN=2EM

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OC

∵CF=CA，AF是∠ACF的平分線，

∴CE⊥AF，AE=FE

∴EO為△AFC的中位線

∴EO∥BC

∴

∴在Rt△AEN中，OA=OC

∴EO=OC= AC，

∴CM= EM

∵AF平分∠ACF，

∴∠OCM=∠BCN，

∵∠NBC=∠COM=90°，

∴△CBN∽△COM，

∴ ，

∴CN= CM，

即CN=2EM

【解析】（1）利用正方形的性質和勾股定理計算即可；（2）先判斷出EO為△AFC的中位線，再由EO∥BC得出 ，進而利用直角三角形得出CM= EM，再判斷出△CBN∽△COM得出比例式，進而得出CN= CM，即可得出結論．