Question

【題目】如圖，在ABCD中 過點A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F為BE上一點，且∠AFE=∠D．
（1）求證：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD= ，求AF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，

∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，

∵∠AFB+∠AFE=180°，

∴∠C=∠AFB，

∴△ABF∽△BEC；

（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，

∴∠AED=∠BAE=90°，

在Rt△ABE中，根據勾股定理得：BE= = =4 ，

在Rt△ADE中，AE=ADsinD=5× =4，

∵BC=AD=5，

由（1）得：△ABF∽△BEC，

∴ ，即 ，

解得：AF=2 ．

∵△ADF∽△DEC，

【解析】（1）由平行四邊形的性質得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，證出∠C=∠AFB，即可得出結論；（2）由勾股定理求出BE，由三角函數求出AE，再由相似三角形的性質求出AF的長．
【考點精析】關于本題考查的平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質，需要了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．