Question

【題目】在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．若四邊形ABCD是正方形如圖1：則有AC=BD，AC⊥BD． 旋轉圖1中的Rt△COD到圖2所示的位置，AC′與BD′有什么關系？（直接寫出）
若四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋轉Rt△COD至圖3所示的位置，AC′與BD′又有什么關系？寫出結論并證明．

Answer 1

【答案】解：圖2結論：AC′=BD′，AC′⊥BD′， 理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，
∵將Rt△COD旋轉得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，
在△AOC′與△BOD′中， ，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′；
圖3結論：BD′= AC′，AC′⊥BD’
理由：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB= OA，OD= OC，
∵將Rt△COD旋轉得到Rt△C′OD′，
∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，
∴OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，
∴ = ，
∴△AOC′∽△BOD′，
∴ = = ，∠OAC′=∠OBD′，
∴BD′= AC′，
∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，
∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，
∴AC′⊥BD′．
【解析】圖2：根據四邊形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根據旋轉的性質得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代換得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根據全等三角形的性質得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到結論； 圖3：根據四邊形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB= OA，OD= OC，根據旋轉的性質得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′= OC′，∠AOC′=∠BOD′，根據相似三角形的性質得到BD′= AC′，于是得到結論．
【考點精析】通過靈活運用菱形的性質和正方形的性質，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．