Question

【題目】在平面直角坐標系中（如圖），已知拋物線經過，，頂點為．

求該拋物線的表達方式及點的坐標；

將中求得的拋物線沿軸向上平移個單位，所得新拋物線與軸的交點記為點．當時等腰三角形時，求點的坐標；

若點在中求得的拋物線的對稱軸上，聯結，將線段繞點逆時針轉得到線段，若點恰好落在中求得的拋物線上，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；頂點坐標為；（2）坐標為；（3）的坐標為，．

【解析】

（1）將A與B坐標代入拋物線解析式中求出a與c的值，即可確定出拋物線解析式，配方后即可求出頂點C的坐標；

（2）由平移規律即C的坐標表示出D的坐標，在直角三角形AOC中，由OA與OC的長，利用勾股定理求出AC的長，由圖形得到∠DAC為鈍角，三角形ACD為等腰三角形，只有DA=AC，求出DA的長，即為m的值，即可確定出D的坐標；

（3）由P在拋物線的對稱軸上，設出P坐標為（-2，n），如圖所示，過O′作O′M⊥x軸，交x軸于點M，過P作PN⊥O′M，垂足為N，由旋轉的性質得到一對邊相等，再由同角的余角相等得到一對角相等，根據一對直角相等，利用AAS得到△PCO≌△PNO′，由全等三角形的對應邊相等得到O′N=OC=2，PN=PC=|n|，再由PCMN為矩形得到MN=PC=|n|，分n大于0與小于0兩種情況表示出O′坐標，將O′坐標代入拋物線解析式中求出相應n的值，即可確定出P的坐標．

將，坐標分別代入拋物線解析式得：，

解得：，

∴拋物線解析式為，

∴頂點坐標為；

由題意得：，

在中，，，

根據勾股定理得：，

由圖形得到為鈍角，要使為等腰三角形，只有，

∴，

則坐標為；

設，如圖所示，過作軸，交軸于點，過作，垂足為，

易得，，，

∴，

∴，，

∵四邊形為矩形，

∴，

①當時，，代入拋物線解析式得：，

解得：或（舍去）；

②當時，，代入拋物線解析式得：，

解得：（舍去）或，

綜上①②得到或，

則的坐標為，．