Question

【題目】如圖，AB為⊙O直徑，點D為AB下方⊙O上一點，點C為弧ABD中點，連接CD，CA．
（1）求證：∠ABD=2∠BDC；
（2）過點C作CH⊥AB于H，交AD于E，求證：EA=EC；
（3）在（2）的條件下，若OH=5，AD=24，求線段DE的長

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，設∠BDC=α，∠DAC=β，

則∠CAB=∠BDC=α，

∵點C為弧ABD中點，

∴ = ，

∴∠ADC=∠DAC=β，

∴∠DAB=β﹣α，

連接AD，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ADB=90°，

∴α+β=90°，

∴β=90°﹣α，

∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣（β﹣α），

∴∠ABD=2α，

∴∠ABD=2∠BDC；

（2）解：∵CE⊥AB，

∴∠ACE+∠CAB=∠ADC+∠BDC=90°，

∵∠CAB=∠CDB，

∴∠ACE=∠ADC，

∵∠CAE=∠ADC，

∴∠ACE=∠CAE，

∴AE=CE；

（3）解：如圖2，連接OC，

∴∠COB=2∠CAB，

∵∠ABD=2∠BEC，∠BDC=∠CAB，

∴∠COB=∠ABD，

∵∠OHC=∠ADB=90°，

∴△OCH∽△ABD，

∴ ，

∵OH=5，

∴BD=10，

∴AB= =26，

∴AO=13，

∴AH=18，

∵△AHE∽△ADB，

∴ ，即 = ，

∴AE= ，

∴DE= ．

【解析】（1）如圖1，設∠BDC=α，∠DAC=β，根據圓周角定理得到∠CAB=∠BDC=α，連接AD，由AB為⊙O直徑，得到∠ADB=90°，根據余角的性質即可得到結論；（2）根據已知條件得到∠ACE=∠ADC，等量代換得到∠ACE=∠CAE，于是得到結論；（3）如圖2，連接OC，根據圓周角定理得到∠COB=2∠CAB，等量代換得到∠COB=∠ABD，根據相似三角形的性質得到OH=5，根據勾股定理得到AB= =26，由相似三角形的性質即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了勾股定理的概念和垂徑定理的相關知識點，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧才能正確解答此題．