Question

【題目】反比例函數y= 在第一象限的圖象如圖所示，過點A（1，0）作x軸的垂線，交反比例函數y= 的圖象于點M，△AOM的面積為3．

（1）求反比例函數的解析式；
（2）設點B的坐標為（t，0），其中t＞1．若以AB為一邊的正方形有一個頂點在反比例函數y= 的圖象上，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△AOM的面積為3，

∴ |k|=3，

而k＞0，

∴k=6，

∴反比例函數解析式為y= ；

（2）

解：當以AB為一邊的正方形ABCD的頂點D在反比例函數y= 的圖象上，則D點與M點重合，即AB=AM，

把x=1代入y= 得y=6，

∴M點坐標為（1，6），

∴AB=AM=6，

∴t=1+6=7；

當以AB為一邊的正方形ABCD的頂點C在反比例函數y= 的圖象上，

則AB=BC=t﹣1，

∴C點坐標為（t，t﹣1），

∴t（t﹣1）=6，

整理為t2﹣t﹣6=0，解得t1=3，t2=﹣2（舍去），

∴t=3，

∴以AB為一邊的正方形有一個頂點在反比例函數y= 的圖象上時，t的值為7或3．

【解析】（1）根據反比例函數k的幾何意義得到 |k|=3，可得到滿足條件的k=6，于是得到反比例函數解析式為y= ；（2）分類討論：當以AB為一邊的正方形ABCD的頂點D在反比例函數y= 的圖象上，則D點與M點重合，即AB=AM，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征確定M點坐標為（1，6），則AB=AM=6，所以t=1+6=7；當以AB為一邊的正方形ABCD的頂點C在反比例函數y= 的圖象上，根據正方形的性質得AB=BC=t﹣1，則C點坐標為（t，t﹣1），然后利用反比例函數圖象上點的坐標特征得到t（t﹣1）=6，再解方程得到滿足條件的t的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解比例系數k的幾何意義的相關知識，掌握幾何意義：表示反比例函數圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積，以及對正方形的性質的理解，了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．