Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數圖象的對稱軸為直線，且，頂點為．

（1）求的值；

（2）求點的坐標（用含的式子表示）；

（3）已知點，，若函數的圖象與線段恰有一個公共點，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）由對稱軸公式列出a的方程解出a便可；

（2）把x＝k代入拋物線的解析式，便可求得頂點的縱坐標，進而得頂點P的坐標；

（3）分五種情況：k＞1；k＝1；0＜k＜1；k＝0；k＜0，根據二次函數的圖象與線段AB只有一個公共點，分別求k的取值范圍．

解：（1）∵二次函數圖象的對稱軸為直線x＝k，

∴

∴a＝1；

（2）把a＝1代入得，y＝x22kx＋k2＋k，

當x＝k時，y＝k22k2＋k2＋k＝k，

∴頂點P（k，k）；

（3）∵函數＝x22kx＋k2＋k＝（xk）2＋k，

∴拋物線的開口向上，拋物線的對稱軸為x＝k，頂點為（k，k），

∵點A（0，1），B（2，1），

∴①當k＞1時，拋物線的頂點在直線AB的上方，拋物線與直線AB沒有公共點，則函數（k1≤x≤k＋1）的圖象與線段AB沒有公共點；

②當k＝1時，頂點（1，1）在線段AB上，即函數（k1≤x≤k＋1）的圖象與線段AB恰有一個公共點；

③當k＜0時，則x＝k＋1或k1時，y＝1＋k＜1，函數（k1≤x≤k＋1）的圖象在線段AB下方，沒有公共點；

④當k＝0時，函數，與線段AB恰有一個公共點（1，1）；

⑤當0＜k＜1時，若函數圖象過A（0，1）時，k2＋k＝1，解得k＝

＜0（舍去），或k＝，

∵0＜＜1，

∴根據拋物線的對稱性知，當≤k＜1時，函數（k1≤x≤k＋1）的圖象與線段AB有兩個公共點，當0＜k＜時，函數（k1≤x≤k＋1）的圖象與線段AB恰有一個公共點；

綜上所述：若函數（k1≤x≤k＋1）的圖象與線段AB恰有一個公共點，則0≤k＜或k＝1