Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AD＝CD+AB，∠BAC＝45°，E是BC上一點，且∠DAE＝45°，若BC＝8，則△ADE面積為__．

Answer 1

【答案】

【解析】

過點A作CD的垂線，交CD的延長線于點F，可得四邊形ABCF是正方形，設CD＝m，根據勾股定理可求出m＝2，將△ABE繞點A順時針旋轉90°至△AFG，可以證明△ADE≌△ADG，設BE＝n，再根據勾股定理可求DG的長，進而可得△ADG的面積，即可得△ADE的面積．

解：如圖，過點A作CD的垂線，交CD的延長線于點F，

，

，

．

∴四邊形ABCF是矩形．

∵∠ABC＝90°，∠BAC＝45°，

∴AB＝BC，

∴四邊形ABCF是正方形，

∴AB＝BC＝AF＝CF＝8，

設CD＝m，

則AD＝CD+AB＝m+8，DF＝CF﹣CD＝8﹣m，

在Rt△AFD中，根據勾股定理，得

（m+8）2＝（8﹣m）2+82，

解得m＝2，

∴FD＝6，AD＝10，

將△ABE繞點A順時針旋轉90°至△AFG，

∴AG＝AE，BE＝FG，∠EAG＝∠BAF＝90°，

∵∠BAC＝45°，∠DAE＝45°，

∴∠BAE＝∠DAC，

∴∠CAE＝∠DAF，

∵∠BAE＝∠FAG，

∴∠DAE＝∠DAG，

AD＝AD，

∴△ADE≌△ADG（SAS），

∴DE＝DG，

設BE＝n，則CE＝BC﹣BE＝8﹣n，DE＝DG＝DF+FG＝DF+BE＝6+n，

在Rt△DCE中，根據勾股定理，得

（6+n）2＝（8﹣n）2+22

解得n＝，

∴DG＝6+＝，

∴S△ADE＝S△ADG＝DG×AF＝×8＝．

故答案為：．