Question

【題目】對(duì)稱變換和平移變換在平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在解決有關(guān)最值問(wèn)題時(shí)，更是我們常用的思維方法，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)解決下列問(wèn)題：

（1）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（2，1），點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PA+PB的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是　　；（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）

（2）如圖②，AD⊥l于點(diǎn)D，BC⊥l于點(diǎn)C，且AD＝2，AB＝BC＝4，當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA+PB的最小值是　　；（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）

（3）如圖③，直線a∥b，且a與b之間的距離為1，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為2，且AB＝，問(wèn)：在直線a上是否存在點(diǎn)C，在直線b上是否存在點(diǎn)D，使得CD⊥a，且AC+CD+DB的值最小？若存在，請(qǐng)求出AC+CD+DB的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（4）如圖④，在平面直角坐標(biāo)系中，A（6，0），B（6，4），線段CD在直線y＝x上運(yùn)動(dòng)，且CD＝2，則四邊形ABCD周長(zhǎng)的最小值是　，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為　．（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

【答案】（1）（1，0）；（2）4；（3）存在，6；（4）6+4，（3，3）

【解析】

（1）如圖1，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接 交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，然后令 即可求出x的值，從而可確定P的坐標(biāo)；

（2）如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，利用矩形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)而求解即可；

（3）如圖3，將點(diǎn)A向下平移1個(gè)單位得到，連接交直線b于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥a于點(diǎn)C，連接AC，則點(diǎn)C、D為所求點(diǎn)，然后利用勾股定理求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而求解；

（4）如圖4，將點(diǎn)A沿y＝x方向向右平移2個(gè)單位得到，作點(diǎn)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線y＝x于點(diǎn)C，將點(diǎn)C沿直線向下平移2個(gè)單位得到點(diǎn)C，則點(diǎn)C、D為所求點(diǎn)，首先利用平行四邊形的性質(zhì)得出四邊形ABCD周長(zhǎng)＝4+2+為最小，然后利用勾股定理即可求出的值，進(jìn)而可求出周長(zhǎng)的最小值，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，進(jìn)而可求出C的坐標(biāo)，從而D的坐標(biāo)可求 ．

解：（1）如圖1，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，

∵點(diǎn) 、A關(guān)于x軸對(duì)稱，，

， ，

∴為最小；

設(shè)直線的表達(dá)式為：y＝kx+b，

將點(diǎn) 代入得

，解得：，

故直線的表達(dá)式為：y＝x﹣1，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，故點(diǎn)P（1，0）；

故答案為：（1，0）；

（2）如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵點(diǎn) 、A關(guān)于x軸對(duì)稱，

，

∴為最小；

過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，

，

∴ ，

∴四邊形ADCM是矩形，

∴，

同理， ，

∴BM＝BC﹣CM＝BC﹣AD＝4﹣2＝2．

在Rt△ABM中，AM2＝AB2﹣BM2＝16﹣4＝12＝ ，

BH＝CH+BC＝+BC＝2+4＝6，

在中，

；

即PA+PB的最小值為4，

故答案為：4；

（3）存在，理由：

如圖3，將點(diǎn)A向下平移1個(gè)單位得到，連接交直線b于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DC⊥a于點(diǎn)C，連接AC，則點(diǎn)C、D為所求點(diǎn)，

∵，且，

∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∴ 為最小．

過(guò)點(diǎn) 、A分別作直線a的平行線，分別交過(guò)點(diǎn)B與a的垂線于點(diǎn)G、H，則四邊形為矩形，

∵BH＝2+1+2＝5，AB＝，則AH＝＝3，

在中，，BG＝2+1+1＝4，

，

∴，

∴AC+CD+DB最小值為6；

（4）如圖4，將點(diǎn)A沿y＝x方向向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到，作點(diǎn)關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)，連接交直線y＝x于點(diǎn)C，將點(diǎn)C沿直線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)D，則點(diǎn)C、D為所求點(diǎn)．

連接AD、，

設(shè)C的坐標(biāo)為 ，

∵ ，

，

，

∴如果沿著直線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，相當(dāng)于向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位．

∵，

．

∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，

．

∵，

∴四邊形為平行四邊形，

∴．

，

．

，

，

∴四邊形ABCD周長(zhǎng)＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+BC+＝4+2+為最小．

∵=＝4，

故四邊形ABCD周長(zhǎng)最小值為：64．

設(shè)直線的解析式為，

將代入解析式中得

解得

∴直線解析式為 ．

，解得：，

故點(diǎn)C（5，5），

而CD＝2，

∴點(diǎn)D可以看成點(diǎn)C向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，

∴點(diǎn)D（3，3），

故答案為：6+4；（3，3）．