Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB=AC=10，BC=12，P是上的一個動點，過點P作BC的平行線交AB的延長線于點D．
（1）當點P在什么位置時，DP是⊙O的切線？請說明理由；
（2）當DP為⊙O的切線時，求線段DP的長．

Answer 1

解：（1）當點P是的中點時，DP是⊙O的切線。理由如下：
連接AP。
∵AB=AC，∴。
又∵，∴。∴PA是⊙O的直徑。
∵，∴∠1=∠2。
又∵AB=AC，∴PA⊥BC。
又∵DP∥BC，∴DP⊥PA。∴DP是⊙O的切線。
（2）連接OB，設PA交BC于點E。．

由垂徑定理，得BE=BC=6。
在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=。
設⊙O的半徑為r，則OE=8﹣r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r²=6²+（8﹣r）²，解得r=。
∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D。
又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP，
∴，即，解得：。

圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，切線的判定，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質。
【分析】（1）根據當點P是的中點時，得出，得出PA是⊙O的直徑，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，問題得證。
（2）利用切線的性質，由勾股定理得出半徑長，進而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的長。