Question

【題目】如圖，E、F是正方形ABCD的邊AD上的兩個動點，滿足AE=DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于H．已知正方形ABCD的邊長為4cm，解決下列問題：

（1）求證：BE⊥AG；

（2）求線段DH的長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；(2)2-2．.

【解析】

（1）根據正方形的性質可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠1=∠2，利用“邊角邊”證明△ADG和△CDG全等，根據全等三角形對應角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，再根據垂直的定義證明即可；

（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，取AB的中點O，連接OH、OD，然后求出OH=AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根據三角形的三邊關系可知當O、D、H三點共線時，DH的長度最小．

（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠1=∠2，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，

∴∠1+∠BAH=90°，

∴∠AHB=180°-90°=90°，

∴BE⊥AG；

（2）解：如圖，取AB的中點O，連接OH、OD，

則OH=AO=AB=2，

在Rt△AOD中，OD=，

根據三角形的三邊關系，OH+DH＞OD，

∴當O、D、H三點共線時，DH的長度最小，

DH的最小值=OD-OH=2-2．