Question

【題目】閱讀下面的材料：小錘遇到一個問題：如圖①，在△ABC中，DE//BC分別交AB于點D，交AC于點E，已知CDBE，CD=2，BE=3，求BC+DE的值.

小錘發現，過點E作EFDC，交BC的延長線于點F，構造△BEF，經過推理和計算能夠使問題得到解決.

（1）請按照上述思路完成小錘遇到的問題；

（2）參考小錘思考問題的方法，解決下面的問題：如圖②，四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABEF是矩形，AC與DF交于點G，AC=BF=DF，求∠DGC的度數.

Answer 1

【答案】（1）BC+DE=；（2）60°．

【解析】

（1）由DE∥BC，EF∥DC，可證得四邊形DCFE是平行四邊形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值；

（2）首先連接AE，CE，由四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形ABEF是矩形，易證得四邊形DCEF是平行四邊形，繼而證得△ACE是等邊三角形，則可求得答案．

（1）∵DE∥BC，EF∥DC，

∴四邊形DCFE是平行四邊形，

∴EF=CD=3，CF=DE，

∵CD⊥BE，

∴EF⊥BE，

∴BC+DE=BC+CF=BF=BE2+EF2=；

(2)連接AE，CE，如圖．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC．

∵四邊形ABEF是矩形，

∴AB∥FE，BF=AE．

∴DC∥FE．

∴四邊形DCEF是平行四邊形．

∴CE∥DF．

∵AC=BF=DF，

∴AC=AE=CE．

∴△ACE是等邊三角形．

∴∠ACE=60°．

∵CE∥DF，

∴∠AGF=∠ACE=60°．