Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE.

（1）求證：CE＝AD；

（2）當D為AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；

（3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】分析：（1）由BC⊥AC，DE⊥BC，得到DE∥AC，從而判斷出四邊形ADEC是平行四邊形．即可，

（2）先判斷出△BFD≌△CFE，再判斷出BC和DE垂直且互相平分，得到四邊形BECD是菱形．

（3）先判斷出∠CDB=90°，從而得到有一個角是直角的菱形是正方形．

解析：（1）證明：∵直線m∥AB，

∴EC∥AD．

又∵∠ACB=90°，

∴BC⊥AC．

又∵DE⊥BC，

∴DE∥AC．

∵EC∥AD，DE∥AC，

∴四邊形ADEC是平行四邊形．

∴CE=AD．

（2）當點D是AB中點時，四邊形BECD是菱形．

證明：∵ D是AB中點，

∴DB=DA

又∵直線m∥AB，CE=AD

∴DB= CE，DB ∥ CE

∴四邊形BDCE是平行四邊形

又∵DE⊥BC

∴四邊形BECD是菱形

（3）當∠A的大小是45°時，四邊形BECD是正方形．