Question

【題目】矩形ABCD的對角線相交于點O，AC= ，CD=1，

（1）尺規作圖：作∠ABC的平分線交AD于點E，連結CE；
（2）判斷線段BE與CE的關系，并證明你的判斷．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示

（2）解：BE⊥CE且BE=CE，理由如下：

∵矩形ABCD中，

∴∠BAD=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD，AD∥BC．

∴在Rt△ADH中，AC= ，CD=1，

∴ ，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠EBC=45°，

∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EBC，

∴∠AEB=∠ABE=45°，

∴AB=AE，

∵AB=CD，

∴AE=AB=1，DE=AD﹣AE=1，

∴AE=DE，

在△ABE與△DCE中， ，

∴△DAB≌△DEB（SAS），

∴BE=CE且∠CED=∠AEB=45°．

∴∠BED=180°﹣∠AEB﹣∠CED=90°

∴BE⊥CE且BE=CE．

【解析】(1)根據全等三角形的判定方法作出∠ABC的平分線；（2）根據矩形的性質得到對邊平行且相等，四角都等于90°，根據勾股定理求出AD的長，得出△DAB≌△DEB，根據三角形內角和定理，求出∠BED的度數，得到BE⊥CE且BE=CE的結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解矩形的性質的相關知識，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．