Question

【題目】已知二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸的正半軸相交于點A（2，0）和點B、與y軸相交于點C，它的頂點為M、對稱軸與x軸相交于點N．

（1）用b的代數式表示頂點M的坐標；

（2）當tan∠MAN=2時，求此二次函數的解析式及∠ACB的正切值．

Answer 1

【答案】（1）M（， ）；（2），

【解析】試題分析：把點A（2，0）坐標代入二次函數解析式得出，再帶回到中，配方化為頂點式即可得到頂點M的坐標；（2）先由tan∠MAN=2得出MN的長度，再分類討論點B和N的位置關系，得出b的值，進而得出二次函數的解析式，A作AH⊥BC，根據正切函數定義即可得出∠ACB的正切值

解：（1）∵二次函數的圖像經過點A（2，0），

∴，

∴，

∴，

∴頂點M的坐標為（， ）．

（2）∵tan∠MAN=2，∴MN=2AN．

∵M（， ），∴ N（，0），．

①當點B在點N左側時， AN= ，∴， ．

不符合題意．

②當點B在點N右側時， AN= ， ∴， ．

∴二次函數的解析式為．

∴點C（0，–10），∵點A、B關于直線MN對稱，∴點B（10，0）．

∵OB=OC=10，∴BC=10，∠OBC＝45°．

過點A作AH⊥BC,垂足為H，∵AB＝8，∴AH=BH=4，∴CH＝6．

∴．