Question

【題目】在四邊形中，，，點是射線上一動點，以為邊向右側作等邊，點的位置隨著點的位置變化而變化．

（1）如圖1，當點在四邊形內部或邊上時，連接，與的數量關系是________，與的位置關系是_______；

（2）如圖2，當點在四邊形外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；

（3）如圖3，當點在線段的延長線上時，連接，若，，則線段______，________．

Answer 1

【答案】（1）PB=EC，CE⊥AD；（2）結論仍然成立，理由見解析；（3）DP= 10，EP=

【解析】

（1）如圖1中，結論：PB=EC，CE⊥AD．連接AC，延長CE交AD于H，根據“SAS”證明△BAP≌△CAE即可解決問題；

（2）結論仍然成立．連接AC交BD于O，設CE交AD于H．證明方法與（1）類似；

（3）首先證明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解決問題；

解：（1）如圖1中，結論：PB=EC，CE⊥AD．

理由：連接AC，延長CE交AD于H．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD=∠CBD=30°，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△APE是等邊三角形，

∴AP=AE，∠PAE=60°，

∵∠BAC=∠PAE，

∴∠BAP=∠CAE，

，

∴△BAP≌△CAE，

∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，

∵∠CAH=60°，

∴∠CAH+∠ACH=90°，

∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

故答案為PB=EC，CE⊥AD；

（2）結論仍然成立．

理由：選圖2，連接AC交BD于O，設CE交AD于H．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD=∠CBD=30°，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△APE是等邊三角形，

∴AP=AE，∠PAE=60°，

∴∠BAP=∠CAE．

，

∴△BAP≌△CAE，

∴BP=CE，∠PBA=∠ACE=30°，

∵∠CAH=60°，

∴∠CAH+∠ACH=90°，

∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

（3）選圖3，連接AC交BD于O，連接CE交AD于H．

∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，∠ABD=∠CBD=30°，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△APE是等邊三角形，

∴AP=AE，∠PAE=60°，

∴∠BAP=∠CAE．

，

∴△BAP≌△CAE，

∴BP=CE，∠ABP=∠ACE=30°，

∵∠CAH=60°，

∴∠CAH+∠ACH=90°，

∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．

在菱形ABCD中，AD∥BC，

∴EC⊥BC，

∵BC=AB=2，BE=，

在Rt△BCE中，EC==7，

∴BP=CE=7，

∵AC與BD是菱形的對角線，

∴∠ABD=∠ABC=30°，AC⊥BD，

∴OA=AB=，

∴BO=OD==3，

∴BD=2BO=6，

∴DP=BP-BD=7-6=1，

∴OP=OD+DP=4，

在Rt△AOP中，AP=，

∴EP=AP=．