Question

【題目】如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6相交于A（，）和B（4，m），點P是AB上的動點，設點P的橫坐標為n，過點P作PC⊥x軸，交拋物線于點C，與x軸交于M點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點P是線段AB上異于A，B的動點，是否存在這樣的點P，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這最大值，若不存在，請說明理由；

（3）點P在直線AB上自由移動，當三個點C，P，M中恰有一點是其它兩點所連線段的中點時，請直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】(1) y=2x2﹣8x+6；(2)見解析;(3) n的值為或．

【解析】分析：（1）把B（4，m）代入y=x+2中求出m得到B（4，6），然后把A點和B點坐標代入y=ax2+bx+6得到關于a、b的方程組，再解方程組即可得到拋物線解析式；
（2）設P的坐標為（n，n+2）（＜n＜4），則點C的坐標為（n，2n2-8n+6），用n表示PC得到PC=（n+2）-（2n2-8n+6），然后根據二次函數的性質解決問題；
（3）設P的坐標為（n，n+2），則點C的坐標為（n，2n2-8n+6），討論：若M點為PC的中點，則PM=CM，即n+2=-（2n2-8n+6）；若P點為CM的中點，則PM=PC，即2n2-8n+6=2（x+2）；若C點為PM的中點，則PC=CM，即n+2=2（2n2-8n+6），然后分別解方程可確定滿足條件的n的值．

詳解：

（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上，

∴m=6，則B（4，6），

∵A（ ，）、B（4，6）在拋物線y=ax2+bx+6上，

∴ 解得 ，

∴所求拋物線的表達式為y=2x2﹣8x+6；

（2）設P的坐標為（n，n+2）（＜n＜4），則點C的坐標為（n，2n2﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣）2+，

∵a=﹣2＜0，

∴當n=時，線段PC取得最大值；

（3）設P的坐標為（n，n+2），則點C的坐標為（n，2n2﹣8n+6），

若M點為PC的中點，則PM=CM，即n+2=﹣（2n2﹣8n+6），整理得2n2﹣7n+8=0，此方程沒有實數解；

若P點為CM的中點，則PM=PC，即2n2﹣8n+6=2（x+2），整理得n2﹣5n+5=0，解得n1= ，n2=；

若C點為PM的中點，則PC=CM，即n+2=2（2n2﹣8n+6），整理得4n2﹣17n+10=0，解得n1= ，n2=；

綜上所述，n的值為或．