Question

【題目】綜合與探究

如圖（1），線段AB的兩個端點的坐標分別為（-12，4）（0，10），點P從點B出發，沿BA方向勻速向點A運動；同時，點Q從坐標原點O出發，沿x軸的反方向以相同的速度運動，當點P到達點A時，P,Q兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒，ΔOPQ的面積S（平方單位）與時間t（秒）之間的函數圖象如圖（2）所示。

（1）求點P的運動速度；

（2）求面積S與t的函數關系式及當S最最大值時點P的坐標；

（3）點P是S取最大值時的點，設點M為x軸上的點，點N為坐標平面內的點，以點O,P，M,N為頂點的四邊形地矩形，請直接寫出點N的坐標。

Answer 1

【答案】（1）點P的運動速度為（長度單位、秒）；（2）ΔOPQ的面積S與t之間的函數關系式為 ，點P的坐標為（-10，5）；（3）N1(0,5)N2()

【解析】試題分析：

（1）求出AB的長，根據速度=，計算即可；

（2）由Rt△ADB∽Rt△PCB，可得，可得PC=2t，BC=t，推出OC=10﹣t，推出點P的坐標為（﹣2t，10﹣t），OQ=t，推出S=OQPE=×t（10﹣t），利用二次函數的性質即可解決問題；

（3）分兩種情形討論求解；

試題解析：

（1）作PC⊥OB于C，AD⊥OB于D，PE⊥OQ于E．

∵A（﹣12，4），B（0，10），

∴AD=12，OD=4，0B=10，

∴BD=6，

在Rt△ADB中，AB=，

由圖象可知，點P運動時間為6秒，

∴點P的運動速度為6÷6=（長度單位/秒）．

（2）設點P運動了t秒，則BP=OQ=t，

∵∠PBC=∠ABD，∠ADB=∠PCB=90°，

∴Rt△ADB∽Rt△PCB，

∴，

∴，

∴PC=2t，BC=t，

∴OC=10﹣t，

∴點P的坐標為（﹣2t，10﹣t），OQ=t，

∴S=OQPE=×t（10﹣t），

∴S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+（0≤t≤6），

∵﹣＜0，

∴當t=5時，S取得最大值，

此時﹣2t=﹣10，10﹣t=10﹣5=5，即點P的坐標為（﹣10，5），

綜上所述，△OPQ的面積S與t的函數關系式為S=﹣t2+5t（0≤t≤6），

當面積最大時，點P的坐標為（﹣10，5）．

（3）如圖，

①當PM1⊥x軸，PN1⊥y軸時，四邊形PM1ON1是矩形，此時N1（0，5）．

②當PM2⊥OP時，可得四邊形PM2N2O是矩形，

∵直線OP的解析式為y=﹣x，

∴直線PM2的解析式為y=2x+25，可得M2（﹣12.5，0），設N2（m，n），

則有，

∴m=﹣，n=﹣5，

∴N2（﹣，﹣5），

綜上所述，滿足條件是點N1（0，5），N2（﹣，﹣5）．