Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若AB=4，求MN·MC的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8.

【解析】試題分析：（1）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是 O的切線；（2）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MNMC；代入數據可得MNMC=BM2=8．

試題解析：(1)證明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO.

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB.

又∵AB是O的直徑，

∴∠ACO+∠OCB=90°.

∴∠PCB+∠OCB=90°，OC⊥CP.

∵OC是O的半徑，

∴PC是O的切線。

(2)連接MA，MB，

∵點M是的中點，

∴ =.

∴∠ACM=∠BCM.

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM.

∵∠BMN=∠BMC，

∴△MBN∽△MCB.

∴.

∴BM2=MNMC.

又∵AB是O的直徑,AM=BM，

∴∠AMB=90°，AM=BM.

∵AB=4，

∴BM=.

∴MNMC=BM2=8.