Question

【題目】如圖，正方形ABCD的頂點A，B在函數y= （x＞0）的圖象上，點C，D分別在x軸，y軸的正半軸上，當k的值改變時，正方形ABCD的大小也隨之改變．
①當k=2時，正方形A′B′C′D′的邊長等于 ．
②當變化的正方形ABCD與（1）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時，k的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】； ≤x≤18
【解析】解：（1）如圖，過點A′作AE⊥y軸于點E，過點B′⊥x軸于點F，則∠A′ED′=90°．

∵四邊形A′B′C′D′為正方形，
∴A′D′=D′C′，∠A′D′C′=90°，
∴∠OD′C′+∠ED′A′=90°．
∵∠OD′C′+∠OC′D′=90°，
∴∠ED′A′=∠OC′D′．
在△A′ED′和△D′OC′中，
，
∴△A′ED′≌△D′OC′（AAS）．
∴OD′=EA′，OC′=ED′．
同理△B′FC′≌△C′OD′．
設OD′=a，OC′=b，則EA′=FC′=OD′=a，ED′=FB′=OC′=b，
即點A′（a，a+b），點B′（a+b，b）．
∵點A′、B′在反比例函數y= 的圖象上，
∴ ，解得： 或 （舍去）．
在Rt△C′OD′中，∠C′OD′=90°，OD′=OC′=1，
∴C′D′= = ．
所以答案是： ．
2）設直線A′B′解析式為y=k1x+b1 ， 直線C′D′解析式為y=k2+b2 ，
∵點A′（1，2），點B′（2，1），點C′（1，0），點D′（0，1），
∴有 和 ，
解得： 和 ．
∴直線A′B′解析式為y=﹣x+3，直線C′D′解析式為y=﹣x+1．
設點A的坐標為（m，2m），點D坐標為（0，n）．
當A點在直線C′D′上時，有2m=﹣m+1，解得：m= ，
此時點A的坐標為（ ， ），
∴k= × = ；
當點D在直線A′B′上時，有n=3，
此時點A的坐標為（3，6），
∴k=3×6=18．
綜上可知：當變化的正方形ABCD與（1）中的正方形A′B′C′D′有重疊部分時，k的取值范圍為 ≤x≤18．
所以答案是： ≤x≤18．
【考點精析】關于本題考查的反比例函數的性質和正方形的性質，需要了解性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．