Question

【題目】如圖，在平面直角坐標中，點D在y軸上，以D為圓心，作⊙D交x軸于點E、F，交y軸于點B、G，點A在上，連接AB交x軸于點H，連接 AF并延長到點C，使∠FBC=∠A．

(1)判斷直線BC與⊙D的位置關系，并說明理由；

(2)求證：BE2=BH·AB；

(3) 若點E坐標為（-4，0），點B的坐標為（0，-2），AB=8，求F與A兩點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）直線BC與⊙D相切，理由見解析；

（2）證明見解析；

（3）F(4，0)，A(-4.8，4.4)

【解析】試題分析：（1）連FG，要證BC是切線，只需證∠DBC=90°，即證∠DBF+∠CBF=90°，而∠CBF=∠A，∠A=∠BGF，又∠BGF+∠DBF=90°，則可證明.

（2）連AE，則得到母子三角形的基本圖形，結合垂徑定理和圓周角定理證明△BEH∽△BAE即可.

（3）求坐標，作垂線，所以過點A分別向坐標軸作垂線，結合相似三角形的性質求出AQ，OQ的長即可.

試題解析（1）直線BC與⊙D相切.

證明：如圖，連接GF，∵BG是⊙D直徑，∴∠GFB=90°.

∴∠G+∠GBF=90°，

∵∠A=∠G ，∠FBC=∠A，∴∠G=∠FBC，

∴∠FBC+∠GBF=90°，即∠GBC=90°，

∴直線BC與⊙D相切.

(2) 如圖，連接AE.

∵BG⊥EF， BG是⊙D直徑.

∴，∴∠BEH=∠BAE ，∵∠BAE=∠EAH ， ∴△BEH∽△BAE.

∴ ∴BE2=BH·AB.

(3) 作AQ⊥GB，∵E（-4，0）,根據垂徑定理得，OE=OF=4，∴F(4，0) .

∵BE2=BH·AB， BE2=OE2 +OB2=16+4=20， AB=8，∴BH=2.5，得OH=1.5 .

由△BOH∽△BQA，得AQ=4.8，BQ=6.4.

∴OQ=4.4 ，∴A(-4.8，4.4).