Question

【題目】如圖，長方形AOBC在直角坐標系中，點A在y軸上，點B在x軸上，已知點C的坐標是（8，4）．

（1）求對角線AB所在直線的函數關系式；
（2）對角線AB的垂直平分線MN交x軸于點M，連接AM，求線段AM的長；
（3）若點P是直線AB上的一個動點，當△PAM的面積與長方形OABC的面積相等時，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形AOBC為長方形，且點C的坐標是（8，4），

∴AO=CB=4，OB=AC=8，

∴A點坐標為（0，4），B點坐標為（8，0）．

設對角線AB所在直線的函數關系式為y=kx+b，

則有 ，解得： ，

∴對角線AB所在直線的函數關系式為y=﹣ x+4

（2）

解：∵四邊形AOBC為長方形，且MN⊥AB，

∴∠AOB=∠MNB=90°，

又∵∠ABO=∠MBN，

∴△AOB∽△MNB，

∴ ．

∵AO=CB=4，OB=AC=8，

∴由勾股定理得：AB= =4 ，

∵MN垂直平分AB，

∴BN=AN= AB=2 ．

= = ，即MB=5．

OM=OB﹣MB=8﹣5=3，

由勾股定理可得：

AM= =5

（3）

解：∵OM=3，

∴點M坐標為（3，0）．

又∵點A坐標為（0，4），

∴直線AM的解析式為y=﹣ x+4．

∵點P在直線AB：y=﹣ x+4上，

∴設P點坐標為（m，﹣ m+4），

點P到直線AM： x+y﹣4=0的距離h= = ．

△PAM的面積S△PAM= AMh= |m|=SOABC=AOOB=32，

解得m=± ，

故點P的坐標為（ ，﹣ ）或（﹣ ， ）

【解析】（1）由坐標系中點的意義結合圖形可得出A、B點的坐標，設出對角線AB所在直線的函數關系式，由待定系數法即可求得結論；（2）由相似三角形的性質找到BM的長度，再結合OM=OB﹣BM得出OM的長，根據勾股定理即可得出線段AM的長；（3）先求出直線AM的解析式，設出P點坐標，由點到直線的距離求出AM邊上的高h，再結合三角形面積公式與長方形面積公式即可求出P點坐標．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解一次函數的圖象和性質的相關知識，掌握一次函數是直線，圖像經過仨象限；正比例函數更簡單,經過原點一直線；兩個系數k與b,作用之大莫小看，k是斜率定夾角,b與Y軸來相見,k為正來右上斜,x增減y增減；k為負來左下展,變化規律正相反；k的絕對值越大,線離橫軸就越遠．