Question

【題目】如圖，直線OM⊥ON，垂足為O，三角板的直角頂點C落在∠MON的內部，三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點D和點B．

（1）填空：∠OBC+∠ODC=　 　；

（2）如圖1：若DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，求證：DE⊥BF：

（3）如圖2：若BF、DG分別平分∠OBC、∠ODC的外角，判斷BF與DG的位置關系，并說明理由。

Answer 1

【答案】（1）180°；（2）見解析；（3）BF∥DG．

【解析】試題分析：（1）先利用垂直定義得到∠MON=90°，然后利用四邊形內角和求解；

（2）延長DE交BF于H，如圖，由于∠OBC+∠ODC=180°，∠OBC+∠CBM=180°，根據等角的補角相等得到∠ODC=∠CBM，由于DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，則∠CDE=∠FBE，然后根據三角形內角和可得∠BHE=∠C=90°，于是DE⊥BF；

（3）作CQ∥BF，如圖2，由于∠OBC+∠ODC=180°，則∠CBM+∠NDC=180°，再利用BF、DG分別平分∠OBC、∠ODC的外角，則∠GDC+∠FBC=90°，根據平行線的性質，由CQ∥BF得∠FBC=∠BCQ，加上∠BCQ+∠DCQ=90°，則∠DCQ=∠GDC，于是可判斷CQ∥GD，所以BF∥DG．

（1）解：∵OM⊥ON，

∴∠MON=90°，

在四邊形OBCD中，∠C=∠BOD=90°，

∴∠OBC+∠ODC=360°﹣90°﹣90°=180°；

故答案為180°；

（2）證明：延長DE交BF于H，如圖1，

∵∠OBC+∠ODC=180°，

而∠OBC+∠CBM=180°，

∴∠ODC=∠CBM，

∵DE平分∠ODC，BF平分∠CBM，

∴∠CDE=∠FBE，

而∠DEC=∠BEH，

∴∠BHE=∠C=90°，

∴DE⊥BF；

（3）解：DG∥BF．理由如下：

作CQ∥BF，如圖2，

∵∠OBC+∠ODC=180°，

∴∠CBM+∠NDC=180°，

∵BF、DG分別平分∠OBC、∠ODC的外角，

∴∠GDC+∠FBC=90°，

∵CQ∥BF，

∴∠FBC=∠BCQ，

而∠BCQ+∠DCQ=90°，

∴∠DCQ=∠GDC，

∴CQ∥GD，

∴BF∥DG．