Question

【題目】已知，如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動．

（1）當t為何值時，四邊形PODB是平行四邊形？

（2）在線段PB上是否存在一點Q，使得ODQP為菱形？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由；

（3）△OPD為等腰三角形時，寫出點P的坐標（不必寫過程）．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）3；（3）P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）．

【解析】

試題分析：（1）根據平行四邊形的性質就可以知道PB=5，可以求出PC=5，從而可以求出t的值．

（2）要使ODQP為菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值．

（3）當P1O=OD=5或P2O=P2D或P3D=OD=5或P4D=OD=5時分別作P2E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P4G⊥OA于G，利用勾股定理求得P1C，OE，P3F，DG的值，就可以求出P的坐標．

試題解析：（1）∵四邊形PODB是平行四邊形，

∴PB=OD=5，

∴PC=5，

∴t=5；

（2）∵四邊形ODQP為菱形，

∴OD=OP=PQ=5，

∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：

PC=3

∴t=3；

（3）當P1O=OD=5時，由勾股定理可以求得P1C=3，

P2O=P2D時，作P2E⊥OA，

∴OE=ED=2.5；

當P3D=OD=5時，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F=3，

∴P3C=2；

當P4D=OD=5時，作P4G⊥OA，由勾股定理，得

DG=3，

∴OG=8．

∴P1（3，4），P2（2.5，4），P3（2，4），P4（8，4）．