Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分線，過A、C、D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE．

（1）判斷線段AC與AE是否相等，并說明理由；
（2）求過A、C、D三點的圓的直徑．

Answer 1

（1）AC＝AE；（2）

試題分析：（1）由∠ACB＝90°可得AD為直徑，再根據AD是△ABC的角平分線，可得，即得，即可證得結論；
（2）先跟勾股定理求得AB的長，從而得到BE的長，證得△ABC∽△DBE，根據相似三角形的對應邊成比例即可求得DE的長，再根據勾股定理即可求得結果。
（1）∵∠ACB＝90°， 
∴AD為直徑，   
又∵AD是△ABC的角平分線，
∴，
∴，
∴在同一個⊙O中，AC＝AE；    
（2）∵AC=5，CB=12，
∴AB=，
∵AE=AC=5，
∴BE=AB-AE=13-5=8，       
∵AD是直徑，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△DBE，   
∴，
∴DE＝ ， 
∴AD＝ 
∴△ACD外接圓的直徑為．
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握90°的圓周角所對的弦是直徑；在同圓或等圓中，等弧所對的弦相等。