Question

【題目】在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CDFE不可能為正方形；
③四邊形CDFE的面積保持不變；
④△CDE面積的最大值為8．
其中正確的結論有（ ）個．

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解；連接CF．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
在△ADF和△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，①正確；
當D、E分別為AC，BC的中點時，四邊形CDEF是正方形，②錯誤；
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF ，
∴四邊形CDFE的面積=S△ACF= S△ACB ，
∴四邊形CDFE的面積保持不變，③正確；
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴當DE最小時，DF也最小，
即當DF⊥AC時，DE最小，此時DF= AC=4，
∴DE= DF=4 ，
當△CDE面積最大時，此時△DEF的面積最小，
∴S△CDE=S四邊形CEFD﹣S△DEF=S△AFC﹣S△DEF=16﹣8=8，④正確，
故選：C．

【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)，還要掌握正方形的判定方法(先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角)的相關知識才是答題的關鍵．